数学悖论与三次数学危机
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韩雪涛
简介
本书介绍数学中的三大悖论（毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论）与三次数学危机，以时间为序，以环环相扣的数学家轶事为纲，带大家了解数学发展史，理解悖论的巨大作用，以及认识欧几里得几何、无理数、微积分、集合论等的来龙去脉。书中穿插大量数学家的逸事，融知识性与趣味性于一体。本书这一版专门添加附录介绍了哥德尔证明。
contents
序（张景中） iii
前言 v
第一部分
毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
第1章 几何定理中的“黄金”：勾股定理 2
古老的定理 2
勾股定理的广泛应用及其地位 8
第2章 秘密结社：毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派 12
智慧之神：毕达哥拉斯 12
毕达哥拉斯学派的数学发现 16
毕达哥拉斯学派的数学思想 24
勾股定理证法赏析 35
第3章 风波乍起：第一次数学危机的出现 45
毕达哥拉斯悖论 45
第一次数学危机 50
第4章 绕过暗礁：第一次数学危机的解决 58
欧多克索斯的解决方案 58
同途殊归：古代中国的无理数解决方案 65
第5章 福祸相依：第一次数学危机的深远影响 70
第一次数学危机对数学思想的影响 70
欧几里得和《几何原本》 75
第一次数学危机的负面影响 82
第二部分
贝克莱悖论与第二次数学危机
第6章 风起清萍之末：微积分之萌芽 86
古希腊微积分思想 86
微积分在中国 104
第7章 积微成著：逼近微积分 116
蛰伏与过渡 116
半个世纪的酝酿 121
第8章 巨人登场：微积分的发现 133
牛顿与流数术 133
莱布尼茨与微积分 143
巨人相搏 150
第9章 风波再起：第二次数学危机的出现 153
贝克莱悖论与第二次数学危机 153
弥补漏洞的尝试 158
第10章 英雄时代：微积分的发展 166
数学英雄 166
分析时代 172
第11章 胜利凯旋：微积分的完善 183
分析注入严密性 183
分析的算术化 196
第三部分
罗素悖论与第三次数学危机
第12章 走向无穷 204
康托尔与集合论 204
康托尔的难题 217
第13章 数学伊甸园 220
反对之声 220
赞誉与影响 228
第14章 一波三折：第三次数学危机的出现 232
罗素悖论与第三次数学危机 232
悖论分析与解决途径 239
第15章 兔、蛙、鼠之战 246
逻辑主义 246
直觉主义 254
形式主义 260
第16章 新的转折 268
哥德尔的发现 268
数理逻辑的兴起与发展 274
附录 哥德尔证明 285
第一步：哥德尔配数 286
第二步：构造自指命题 296
第三步：证明哥德尔不完全性定理 300
参考文献 307
