纪录片
中国的绿色革命 (2011) 豆瓣
China's Green Revolution
演员:
Justin Rowlatt
其它标题:
China's Green Revolution
China pollutes more than any other country on earth, but now the Chinese government says it wants the country to go green. So can China really clean up its act? Justin Rowlatt goes to see the impact of three unbroken decades of economic growth.
N是一个数:埃尔德什·帕尔人物像 (1993) 豆瓣
N Is a Number: A Portrait of Paul Erdős
导演:
George Paul Csicsery
演员:
埃尔德什·帕尔
/
罗纳德·葛立恒
…
其它标题:
N Is a Number: A Portrait of Paul Erdős
N Is a Number: A Portrait of Paul Erdős is a 1993 documentary directed by George Paul Csicsery about the life of mathematician Paul Erdős.
Erdős himself appears in the film. As of 2007, using the official cast list in the credits, it gives Erdős a Bacon number (and thus Erdős-Bacon number) of 4. However, Sir Alec Guinness, identified by name by the narrator, appears in the film, getting an honorary doctorate with Erdős; his presence would give Erdős a Bacon number of 3. Since Frost/Nixon was released in late 2008, Erdős has a Bacon number of 3 through official credits.
Erdős himself appears in the film. As of 2007, using the official cast list in the credits, it gives Erdős a Bacon number (and thus Erdős-Bacon number) of 4. However, Sir Alec Guinness, identified by name by the narrator, appears in the film, getting an honorary doctorate with Erdős; his presence would give Erdős a Bacon number of 3. Since Frost/Nixon was released in late 2008, Erdős has a Bacon number of 3 through official credits.
人类以何为食:食物和文明的世界群像 (1985) 豆瓣
人間は何を食べてきたか 食と文明の世界像
日本NHK电视台耗费巨资,拍摄组全球行走五万公里,记录下人类吃什么,为何吃,怎么吃。从南美秘鲁传到欧洲挽救了饥荒的土豆,到德国巴耶州农民对一头猪的充分利用,这部纪录片以全球各种食物的起源为焦点,揭示食物与人类的关系。
当你看到各种美食佳肴的时候,你的馋虫一定会蠢蠢欲动。这部纪录片已经不仅仅是一部食物的历史,更是人类的民俗史、经验史和生存智慧史,你的味蕾尽可以抵达前所未有的深度。这是一部由日本NHK电视台拍摄的优秀纪录片,介绍世界各国风光,文化,饮食风情实录。
[NHK][纪录片]民以食为天系列(序):食物的起源-5万公里之旅
[NHK][纪录片]民以食为天系列(01):一滴血也能利用-肉
[NHK][纪录片]民以食为天系列(02):一粒麦子华丽的变身-面
[NHK][纪录片]民以食为天系列(03):游牧民族的遗产-乳制品
[NHK][纪录片]民以食为天系列(04):安第斯的礼物-马铃薯
[NHK][纪录片]民以食为天系列(05):亚洲巨大的恩赐-稻米
[NHK][纪录片]民以食为天系列(06):黄土居民的智慧和技术-面
[NHK][纪录片]民以食为天系列(07):辣椒是大地的香气-咖哩
[NHK][纪录片]民以食为天系列(08):远古来的信息-塔罗薯·亚姆薯
[NHK][纪录片]民以食为天系列(09):在南方充满活力的植物-茶
[NHK][纪录片]民以食为天系列(10):盐及大地的奇迹-酱油
[NHK][纪录片]民以食为天系列(11):在灼热的大海追逐鲸鱼-印度尼西·伦巴他岛
[NHK][纪录片]民以食为天系列(12):热带草原的移动渔民-非洲·尼杰鲁山
[NHK][纪录片]民以食为天系列(13):珊瑚礁的海上人家“姆多”-南太平洋·曼多古岛
[NHK][纪录片]民以食为天系列(14):被酒引导的北方民族-加拿大·北美大陆
[NHK][纪录片]民以食为天系列(15):糯米-降临大地的神的食物
[NHK][纪录片]民以食为天系列(16):西瓜-沙漠居民的水瓶
[NHK][纪录片]民以食为天系列(17):玉蜀黍-印度的伟大遗产
[NHK][纪录片]民以食为天系列(18):杂谷-热带草原最后的礼物(终)
当你看到各种美食佳肴的时候,你的馋虫一定会蠢蠢欲动。这部纪录片已经不仅仅是一部食物的历史,更是人类的民俗史、经验史和生存智慧史,你的味蕾尽可以抵达前所未有的深度。这是一部由日本NHK电视台拍摄的优秀纪录片,介绍世界各国风光,文化,饮食风情实录。
[NHK][纪录片]民以食为天系列(序):食物的起源-5万公里之旅
[NHK][纪录片]民以食为天系列(01):一滴血也能利用-肉
[NHK][纪录片]民以食为天系列(02):一粒麦子华丽的变身-面
[NHK][纪录片]民以食为天系列(03):游牧民族的遗产-乳制品
[NHK][纪录片]民以食为天系列(04):安第斯的礼物-马铃薯
[NHK][纪录片]民以食为天系列(05):亚洲巨大的恩赐-稻米
[NHK][纪录片]民以食为天系列(06):黄土居民的智慧和技术-面
[NHK][纪录片]民以食为天系列(07):辣椒是大地的香气-咖哩
[NHK][纪录片]民以食为天系列(08):远古来的信息-塔罗薯·亚姆薯
[NHK][纪录片]民以食为天系列(09):在南方充满活力的植物-茶
[NHK][纪录片]民以食为天系列(10):盐及大地的奇迹-酱油
[NHK][纪录片]民以食为天系列(11):在灼热的大海追逐鲸鱼-印度尼西·伦巴他岛
[NHK][纪录片]民以食为天系列(12):热带草原的移动渔民-非洲·尼杰鲁山
[NHK][纪录片]民以食为天系列(13):珊瑚礁的海上人家“姆多”-南太平洋·曼多古岛
[NHK][纪录片]民以食为天系列(14):被酒引导的北方民族-加拿大·北美大陆
[NHK][纪录片]民以食为天系列(15):糯米-降临大地的神的食物
[NHK][纪录片]民以食为天系列(16):西瓜-沙漠居民的水瓶
[NHK][纪录片]民以食为天系列(17):玉蜀黍-印度的伟大遗产
[NHK][纪录片]民以食为天系列(18):杂谷-热带草原最后的礼物(终)
南太平洋 (2009) 豆瓣 TMDB
South Pacific Season 1 所属 电视剧集: 南太平洋
1.海洋岛屿
它们非同的隔绝产生了地球上其它地方所没有的一些最稀奇、惊人和不安定的生存例子,从撕扯掉椰子的大蟹,到把猎物钉在匕首般爪子上食肉毛虫。
人类文明同样不同。五旬节岛上的人们从高高的木制脚手架上纵身鱼跃来庆祝他们每年的收获,只用丛林藤本植物来阻止坠落。
在微小的恩浮塔岛,或许是地球上最僻远的人类社会,当地人为了生存完全依赖他们的庄稼和捕猎。
2.漂流者
在南太平洋并没有荒岛这一回事。它们也许是地球上最偏僻,但2万余个岛屿个个都被开拓了,从新几内亚,天堂鸟的家园,部落野蛮的成人仪式将年轻的战士变成鳄鱼人,到斐济,法属玻利尼西和夏威夷。
这是最后漂流者的故事,从咸水鳄和巨鳗到冠鬣蜥和怪蛙,为了成功不顾一切到达数千哩远的岛屿。这些旅程是很好的功绩。据估计每6万年才有一个物种到达夏威夷。难以相信,这么多的开拓者到达这些受到大自然像龙卷风和海啸接二连三粗暴打击的岛屿。
南太平洋首次人类,玻利尼西亚人的航行,难以忘怀。这些旅程的确是最伟大的探索行动,甚至可以断言,他们永远地改变了南太平洋的大自然。
3.蔚蓝大海
大部分地区是偏僻的,蓝色的旷野的南太平洋是海洋沙漠。海洋中生活着许多动物,它们中有鲨鱼,鲸鱼和海龟,不得不行进异常的距离去生存。虎鲨航行数百哩去享用刚会飞翔的信天翁幼雏的盛宴,每年,抹香鲸从南太平洋的一边旅行另一边去觅食和交配。它们的旅行以悲剧为结局。
但南太平洋并不全是沙漠。新西兰超级富饶的海岸支撑着庞大的特技专家-海豚群,它的珊瑚礁是地球上最丰富多样的,没有几个地方的野生动物比古怪的加拉帕戈斯群岛更丰富的,是热带企鹅和冲浪高手海狮的发源地。
片中始终贯穿着最大的海难故事-令人鼓舞的莫比·迪克的事件(白鲸记)。揭示出在这片看似蔚蓝的大海里巨大的生存挑战。
4.海洋火山
目击地球上最大的海洋中的岛屿出生,成长和死亡。数百万年的历程浓缩在1小时,展现海底火山爆发时难以忘目的影像,熔岩流在海浪下面爆炸。路和房子被熔岩流埋葬。从狂暴开始显露无比丰富的珊瑚礁供养着大群的灰真鲨和大蝠鲼。
南太平洋升起的陆地同样为一些非常陌生的动物带来生命,从能在热带冰雪中兴旺发达的吸血虫,依靠火山泉孵蛋的塚雉,到被珊瑚山截留的大群水母群。
5.奇异的岛屿
在南太平洋的孤岛上有着无战斗力的鹦鹉,翻地觅食的蝙蝠,大石龙子和在树上的袋鼠。野生动物以奇怪的方式演化。在岛上生存可能要付出高代价,对于新来的物种,全都想挣脱这地狱。这里展现出一个难题:为什么动物能完美的适应了岛屿生活,轻易地放弃了灵魂?答案由生存在新西兰海岸外的小岛上,某些不太可能存在的动物来揭示。
人类历史上的活动区域进一步表明,无论它曾是否田园般的,南太平洋岛屿上的生命从未远离过灾难。
6.脆弱的天堂
南太平洋仍相对健康,鱼群丰富,但这是个脆弱的天堂。国际捕鱼渔船为鲨鱼,信天翁和金枪鱼敲响了严重的警钟,对这片美丽的大海还有其它的暗藏危险。这一集注视怎么来维护海洋及其野生动物。
从该地区人类历史的诸多迹象表明,田园般的,充满生机的南太平洋从未远离过灾难。
它们非同的隔绝产生了地球上其它地方所没有的一些最稀奇、惊人和不安定的生存例子,从撕扯掉椰子的大蟹,到把猎物钉在匕首般爪子上食肉毛虫。
人类文明同样不同。五旬节岛上的人们从高高的木制脚手架上纵身鱼跃来庆祝他们每年的收获,只用丛林藤本植物来阻止坠落。
在微小的恩浮塔岛,或许是地球上最僻远的人类社会,当地人为了生存完全依赖他们的庄稼和捕猎。
2.漂流者
在南太平洋并没有荒岛这一回事。它们也许是地球上最偏僻,但2万余个岛屿个个都被开拓了,从新几内亚,天堂鸟的家园,部落野蛮的成人仪式将年轻的战士变成鳄鱼人,到斐济,法属玻利尼西和夏威夷。
这是最后漂流者的故事,从咸水鳄和巨鳗到冠鬣蜥和怪蛙,为了成功不顾一切到达数千哩远的岛屿。这些旅程是很好的功绩。据估计每6万年才有一个物种到达夏威夷。难以相信,这么多的开拓者到达这些受到大自然像龙卷风和海啸接二连三粗暴打击的岛屿。
南太平洋首次人类,玻利尼西亚人的航行,难以忘怀。这些旅程的确是最伟大的探索行动,甚至可以断言,他们永远地改变了南太平洋的大自然。
3.蔚蓝大海
大部分地区是偏僻的,蓝色的旷野的南太平洋是海洋沙漠。海洋中生活着许多动物,它们中有鲨鱼,鲸鱼和海龟,不得不行进异常的距离去生存。虎鲨航行数百哩去享用刚会飞翔的信天翁幼雏的盛宴,每年,抹香鲸从南太平洋的一边旅行另一边去觅食和交配。它们的旅行以悲剧为结局。
但南太平洋并不全是沙漠。新西兰超级富饶的海岸支撑着庞大的特技专家-海豚群,它的珊瑚礁是地球上最丰富多样的,没有几个地方的野生动物比古怪的加拉帕戈斯群岛更丰富的,是热带企鹅和冲浪高手海狮的发源地。
片中始终贯穿着最大的海难故事-令人鼓舞的莫比·迪克的事件(白鲸记)。揭示出在这片看似蔚蓝的大海里巨大的生存挑战。
4.海洋火山
目击地球上最大的海洋中的岛屿出生,成长和死亡。数百万年的历程浓缩在1小时,展现海底火山爆发时难以忘目的影像,熔岩流在海浪下面爆炸。路和房子被熔岩流埋葬。从狂暴开始显露无比丰富的珊瑚礁供养着大群的灰真鲨和大蝠鲼。
南太平洋升起的陆地同样为一些非常陌生的动物带来生命,从能在热带冰雪中兴旺发达的吸血虫,依靠火山泉孵蛋的塚雉,到被珊瑚山截留的大群水母群。
5.奇异的岛屿
在南太平洋的孤岛上有着无战斗力的鹦鹉,翻地觅食的蝙蝠,大石龙子和在树上的袋鼠。野生动物以奇怪的方式演化。在岛上生存可能要付出高代价,对于新来的物种,全都想挣脱这地狱。这里展现出一个难题:为什么动物能完美的适应了岛屿生活,轻易地放弃了灵魂?答案由生存在新西兰海岸外的小岛上,某些不太可能存在的动物来揭示。
人类历史上的活动区域进一步表明,无论它曾是否田园般的,南太平洋岛屿上的生命从未远离过灾难。
6.脆弱的天堂
南太平洋仍相对健康,鱼群丰富,但这是个脆弱的天堂。国际捕鱼渔船为鲨鱼,信天翁和金枪鱼敲响了严重的警钟,对这片美丽的大海还有其它的暗藏危险。这一集注视怎么来维护海洋及其野生动物。
从该地区人类历史的诸多迹象表明,田园般的,充满生机的南太平洋从未远离过灾难。
三和人才市场 中国日结1500日元的年轻人们 (2018) TMDB 豆瓣
三和人材市場~中国・日給1500円の若者たち~
中国深圳郊外的龙华新区,有一处大型职业介绍所“三和人才市场”。
周围小巷内,残破建筑物林立,廉价网吧、旅馆、杂货店等百余家店铺鳞次栉比。众多年轻人或在网吧内瞌睡,或露宿街头。
本片在绚丽奢华的中国硅谷-深圳,倾听从社会底层支撑着制造业大国的人们的心声,关注在希望和绝望之间挣扎的年轻打工者们的现实。(kamonka)
周围小巷内,残破建筑物林立,廉价网吧、旅馆、杂货店等百余家店铺鳞次栉比。众多年轻人或在网吧内瞌睡,或露宿街头。
本片在绚丽奢华的中国硅谷-深圳,倾听从社会底层支撑着制造业大国的人们的心声,关注在希望和绝望之间挣扎的年轻打工者们的现实。(kamonka)
亿万美元炸鸡店 (2015) 豆瓣
The Billion Dollar Chicken Shop
演员:
纳尔夫·李特
一部新的纪录片将揭示2300万只鸡,每年在英国饲养肯德基如何生活才充满箱和桶商店。
亿美元鸡店首发会投上进入一个大规模生产的所谓“快餐鸡”的过程光芒。
动物权利活动家声称鸡被证明是保持在纪录片中被“压迫”的录像显示有几个窗口,其中34000只鸡保持活力的只有35天,他们被毒气,杀死前一个棚的条件。
第一集:探讨了世界上最知名的食品品牌之一运行,从会议室到厨房的方式。
第二集:将探索工作的快餐业的第一线,如何三分之二肯德基的英国24000多名员工强烈的是年龄在25岁以下的现实。
第三集:肯德基的未来在竞争激烈的市场将在最后的情节进行评估。
亿美元鸡店首发会投上进入一个大规模生产的所谓“快餐鸡”的过程光芒。
动物权利活动家声称鸡被证明是保持在纪录片中被“压迫”的录像显示有几个窗口,其中34000只鸡保持活力的只有35天,他们被毒气,杀死前一个棚的条件。
第一集:探讨了世界上最知名的食品品牌之一运行,从会议室到厨房的方式。
第二集:将探索工作的快餐业的第一线,如何三分之二肯德基的英国24000多名员工强烈的是年龄在25岁以下的现实。
第三集:肯德基的未来在竞争激烈的市场将在最后的情节进行评估。
费马大定理 (1996) 豆瓣
Horizon: Fermat's Last Theorem
9.5 (15 个评分)
导演:
西蒙·辛格
演员:
Andrew Wiles
/
Barry Mazur
…
其它标题:
Horizon: Fermat's Last Theorem
/
费玛最后定理
…
本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起,描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末,往前回溯来看,1994年正是我在念大学的时候,当时完全没有一位教授在课堂上提到这件事,也许他们认为,一位真正的研究者,自然而然地会被数学吸引,然而对一位不是天才的学生来说,他需要的是老师的指引,引导他走向更高深的专业认知,而指引的道路,就在科普的精神上。
从费玛最后定理的历史中可以发现,有许多研究成果,都是研究人员燃烧热情,试图提出「有趣」的命题,然后再尝试用逻辑验证。
费玛最后定理:xn+yn=zn 当 n>2 时,不存在整数解
1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引,「最后问题 The Last Problem」,故事从这里开始。
2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理,任一个直角三角形,斜边的平方=另外两边的平方和
x2+y2=z2
毕达哥拉斯三元组:毕氏定理的整数解
3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时,在页边写下了註记
「不可能将一个立方数写成两个立方数之和;或者将一个四次幂写成两个四次幂之和;或者,总的来说,不可能将一个高於2次幂,写成两个同样次幂的和。」
「对这个命题我有一个十分美妙的证明,这里空白太小,写不下。」
4. 1670年,费玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的「丢番图的算数」
5. 在Fermat的其他註记中,隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解
莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解
3是质数,现在只要证明费玛最后定理对於所有的质数都成立
但 欧基里德 证明「存在无穷多个质数」
6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数,证明了 费玛最后定理 "大概" 无解
7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼的证明,证明了 n=5 无解
8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解
9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最后定理
最后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信,说科西与拉梅的证明,都因为「虚数没有唯一因子分解性质」而失败
库默尔证明了 费玛最后定理的完整证明 是当时数学方法不可能实现的
10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明
这表示 费玛最后定理的完整证明 尚未被解决
沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的人,期限是到2007年9月13日止
11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特,提出数学上23个未解决的问题且相信这是迫切需要解决的重要问题
12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理
第一不可判定性定理:如果公理集合论是相容的,那么存在既不能证明又不能否定的定理。
=> 完全性是不可能达到的
第二不可判定性定理:不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。
=> 相容性永远不可能证明
13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是不是不可判定的方法(只适用少数情形)
证明希尔伯特23个问题中,其中一个「连续统假设」问题是不可判定的,这对於费玛最后定理来说是一大打击
14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机
开始有人利用暴力解决方法,要对 费玛最后定理 的n值一个一个加以证明。
15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想,找到了一个反例
26824404+153656394+1879604=206156734
16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次,研究椭圆曲线
研究椭圆曲线的目的是要算出他们的整数解,这跟费玛最后定理一样
ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2
(费玛证明宇宙中指存在一个数26,他是夹在一个平方数与一个立方数中间)
由於要直接找出椭圆曲线是很困难的,为了简化问题,数学家採用「时鐘运算」方法
在五格时鐘运算中, 4+2=1
椭圆方程式 x3-x2=y2+y
所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4),然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中,有四个解
对於椭圆曲线,可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, .....
17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式
模型式的要素可从1开始标号到无穷(M1, M2, M3, ...)
每个模型式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例
1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭圆曲线的 E序列,两个不同领域的理论突然被连接在一起
安德列‧韦依 採纳这个想法,「谷山-志村猜想」
18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画,一个统一化猜想的理论,并开始寻找统一的环链
19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出
(1) 假设费玛最后定理是错的,则 xn+yn=zn 有整数解,则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式
(2) 弗赖椭圆方程式太古怪了,以致於无法被模型式化
(3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被模型式化
(4) 谷山-志村猜想 是错误的
反过来说
(1) 如果 谷山-志村猜想 是对的,每一个椭圆方程式都可以被模型式化
(2) 每一个椭圆方程式都可以被模型式化,则不存在弗赖椭圆方程式
(3) 如果不存在弗赖椭圆方程式,那么xn+yn=zn 没有整数解
(4) 费玛最后定理是对的
20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无法被模型式化
如果有人能够证明谷山-志村猜想,就表示费玛最后定理也是正确的
21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋,他每隔6个月发表一篇小论文,然后自己独力尝试证明谷山-志村猜想,策略是利用归纳法,加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论,希望能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列
22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几何学证明谷山-志村猜想,但结果失败
23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成无限多项,然后也证明了第一项必定是模型式的第一项,也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论,但结果失败
24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法,对所有分类后的椭圆方程式都奏效
25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助,开始对验证证明
26.1993年5月 「L-函数和算术」会议,安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明
27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷
安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居,尝试独力解决缺陷,他不希望在这时候公布证明,让其他人分享完成证明的甜美果实
28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘,在彼得‧萨纳克的建议下,找到理查德‧泰勒的协助
29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全解决问题
30.「谷山-志村猜想」被证明了,故得证「费玛最后定理」
ii
费马大定理
300多年以前,法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理:“设n是大于2的正整数,则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。
费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明,但因书上空白太小,他写不下他的证明。300多年过去了,不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它,但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的定理—费马大定理。
费马(1601年~1665年)是一位具有传奇色彩的数学家,他最初学习法律并以当律师谋生,后来成为议会议员,数学只不过是他的业余爱好,只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学,但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何,同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数论,提出了许多定理,但费马只对其中一个定理给出了证明要点,其他定理除一个被证明是错的,一个未被证明外,其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理,因为是最后一个未被证明对或错的定理,所以又称为费马最后定理。
费马大定理虽然至今仍没有完全被证明,但已经有了很大进展,特别是最近几十年,进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解,他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理,但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认,但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问,这使人们看到了希望。
为了寻求费马大定理的解答,三个多世纪以来,一代又一代的数学家们前赴后继,却壮志未酬。1995年,美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战,用13
0页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。
费马大定理提出的问题非常简单,它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达
哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说:在一个直角三角形中,
斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ,当费马在
研究毕达哥拉斯方程时,他写下一个方程,非常类似于毕达哥拉斯方程:Xn+Yn=Zn,当n
大于2时,这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这
个结论的同时又写下一个附加的评注:“对此,我确信已发现一个美妙的证法,这里的空
白太小,写不下。”这就是数学史上着名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了
一个数学史上最深奥的谜。
大问题
在物理学、化学或生物学中,还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰,却长久不
解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到,
文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成为数论中最
值得为之奋斗的事。
安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥,父亲是一位工程学教授。少年时代的怀尔斯
已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到:“在学校里我喜欢做题目,我把它们带回家,
编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。
”一天,小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书,这本书只有一个问题而没有解答
,怀尔斯被吸引住了。
这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史,这个定理让一个又
一个的数学家望而生畏,在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆
起被引向费马大定理时的感觉:“它看上去如此简单,但历史上所有的大数学家都未能解
决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题,从那个时刻起,我知道我永
远不会放弃它。我必须解决它。”
怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位,之后进入剑桥大学Clare
学院做博士。在研究生阶段,怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说:“研究费马可能
带来的问题是:你花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate
s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论,我开始跟随他工作。” 科茨说:“我记得一位同事
告诉我,他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学生,他催促我收其
为学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看,他也有很深刻的
思想,非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然,任何研究生在那个阶段直接开始研
究费马大定理是不可能的,即使对资历很深的数学家来说,它也太困难了。”科茨的责任
是为怀尔斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究的问题。他说:“我认为研究
生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然,不能保证它一定
是一个富有成果的研究方向,但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事是使用他
的常识、他对好领域的直觉。然后,学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。
”
科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的
一个转折点,椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。
孤独的战士
1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学,并成为这所大学
的教授。在科茨的指导下,怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程,他已经成为一
个着名的数论学家,但他清楚地意识到,即使以他广博的基础知识和数学修养,证明费马
大定理的任务也是极为艰巨的。
在怀尔斯的费马大定理的证明中,核心是证明“谷山-志村猜想”,该猜想在两个非
常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚,我正在一个朋
友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我,肯·里贝特已经证明了谷山-志村猜想与费马大
定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻,那个改变我生命历程的时刻,因为
这意味着为了证明费马大定理,我必须做的一切就是证明谷山-志村猜想……我十分清楚
我应该回家去研究谷山-志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。
20世纪初,有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理,他
回答说:“在开始着手之前,我必须用3年的时间作深入的研究,而我没有那么多的时间
浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道,为了找到证明,他必须全身心地投入到
这个问题中,但是与希尔伯特不一样,他愿意冒这个风险。
怀尔斯作了一个重大的决定:要完全独立和保密地进行研究。他说:“我意识到与费
马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中
,除非你的专心不被他人分散,而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有
与证明费马大定理无直接关系的工作,任何时候只要可能他就回到家里工作,在家里的顶
楼书房里他开始了通过谷山-志村猜想来证明费马大定理的战斗。
这是一场长达7年的持久战,这期间只有他的妻子知道他在证明费马大定理。
欢呼与等待
经过7年的努力,怀尔斯完成了谷山-志村猜想的证明。作为一个结果,他也证明了
费马大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底,有一个重要的会议要在剑桥大
学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择
在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡,他曾经是那里的一名研究生。
1993年6月23日,牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆
听了这一演讲,但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达
的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安
德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景:“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风
声,很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头,研究所所长肯
定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时,会场上保持着特别庄重的寂静,当我写完
费马大定理的证明时,我说:‘我想我就在这里结束’,会场上爆发出一阵持久的鼓掌声
。”
《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”,久远的数学之谜获解》为题报道
费马大定理被证明的消息。一夜之间,怀尔斯成为世界上最着名的数学家,也是唯一的数
学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创
意的赞美来自一家国际制衣大公司,他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模
特。
当怀尔斯成为媒体报道的中心时,认真核对这个证明的工作也在进行。科学的程序要
求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物,然后这个刊物的编辑将它送交一组审
稿人,审稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》,整整一个
夏天他焦急地等待审稿人的意见,并祈求能得到他们的祝福。可是,证明的一个缺陷被发
现了。
我的心灵归于平静
由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法,编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定
2-3个审稿人,而是6个审稿人。200页的证明被分成6章,每位审稿人负责其中一章。
怀尔斯在此期间中断了他的工作,以处理审稿人在电子邮件中提出的问题,他自信这
些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章,1993年8月23日,他发现了
证明中的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都
行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题,补救的办法可能就在近旁,可是6个多月过去了
,错误仍未改正,怀尔斯面临绝境,他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情
况,萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的人。经过
长时间的考虑后,怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作
。
泰勒1994年1月份到普林斯顿,可是到了9月,依然没有结果,他们准备放弃了。泰勒
鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日,一个星期一的早
晨,怀尔斯发现了问题的答案,他叙述了这一时刻:“突然间,不可思议地,我有了一个
难以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻,我不会再有这样的经历……它的美是如
此地难以形容;它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我
到系里转了一圈,又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。”
这是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极,怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世
界不再怀疑这一次的证明了。这两篇论文总共有130页,是历史上核查得最彻底的数学稿
件,它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版
上,标题是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说:“用数学的术语来说,这个最
终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比,对费马大定理的证明是人类智力活动的一
曲凯歌,同时,不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来,安
德鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。”
声望和荣誉纷至沓来。1995年,怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖,199
6年,他获得沃尔夫奖,并当选为美国科学院外籍院士。
怀尔斯说:“……再没有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如
此少有的特权,在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已经结束了,
我的心已归于平静。”
费马大定理只有在相对数学理论的建立之后,才会得到最满意的答案。相对数学理论没有完成之前,谈这个问题是无力地.因为人们对数量和自身的认识,还没有达到一定的高度.
iii
费马大定理与怀尔斯的因果律-美国公众广播网对怀尔斯的专访
358年的难解之谜
数学爱好者费马提出的这个问题非常简单,它用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说:在一个直角三角形中,斜边的平方等于两个直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ,当费马在研究毕达哥拉斯方程时,他在《算术》这本书靠近问题8的页边处写下了这段文字:“设n是大于2的正整数,则不定方程xn+yn=zn没有非整数解,对此,我确信已发现一个美妙的证法,但这里的空白太小,写不下。”费马习惯在页边写下猜想,费马大定理是其中困扰数学家们时间最长的,所以被称为Fermat’s Last Theorem(费马最后的定理)——公认为有史以来最着名的数学猜想。
在畅销书作家西蒙·辛格(Simon Singh)的笔下,这段神秘留言引发的长达358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先后涉及到最多产的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余转为职业数学家的柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼试验大师库默尔和被誉为“法国历史上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神秘自杀、德国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔最后一刻的舍死求生等等,都仿佛是冥冥间上帝导演的宏大戏剧中的一幕,为最后谜底的解开埋下伏笔。终于,普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底,把这出戏推向高潮并戛然而止,留下一段耐人回味的传奇。
对怀尔斯而言,证明费马大定理不仅是破译一个难解之谜,更是去实现一个儿时的梦想。“我10岁时在图书馆找到一本数学书,告诉我有这么一个问题,300多年前就已经有人解决了它,但却没有人看到过它的证明,也无人确信是否有这个证明,从那以后,人们就不断地求证。这是一个10岁小孩就能明白的问题,然后历史上诸多伟大的数学家们却不能解答。于是从那时起,我就试过解决它,这个问题就是费马大定理。”
怀尔斯于1970年先后在牛津大学和剑桥大学获得数学学士和数学博士学位。“我进入剑桥时,我真正把费马大定理搁在一边了。这不是因为我忘了它,而是我认识到我们所掌握的用来攻克它的全部技术已经反复使用了130年。而这些技术似乎没有触及问题根本。”因为担心耗费太多时间而一无所获,他“暂时放下了”对费马大定理的思索,开始研究椭圆曲线理论——这个看似与证明费马大定理不相关的理论后来却成为他实现梦想的工具。
时间回溯至20世纪60年代,普林斯顿数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想:所有主要数学领域之间原本就存在着的统一的链接。如果这个猜想被证实,意味着在某个数学领域中无法解答的任何问题都有可能通过这种链接被转换成另一个领域中相应的问题——可以被一整套新方案解决的问题。而如果在另一个领域内仍然难以找到答案,那么可以把问题再转换到下一个数学领域中……直到它被解决为止。根据朗兰兹纲领,有一天,数学家们将能够解决曾经是最深奥最难对付的问题——“办法是领着这些问题周游数学王国的各个风景胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备定理打击的费马大定理证明者们指明了救赎之路——根据不完备定理,费马大定理是不可证明的。
怀尔斯后来正是依赖于这个纲领才得以证明费马大定理的:他的证明——不同于任何前人的尝试——是现代数学诸多分支(椭圆曲线论,模形式理论,伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结果。20世纪50年代由两位日本数学家(谷山丰和志村五郎)提出的谷山—志村猜想(Taniyama-Shimura conjecture)暗示:椭圆方程与模形式两个截然不同的数学岛屿间隐藏着一座沟通的桥梁。随后在1984年,德国数学家格哈德·费赖(Gerhard Frey)给出了如下猜想:假如谷山—志村猜想成立,则费马大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特(Ken Ribet)证明。从此,费马大定理不可摆脱地与谷山—志村猜想链接在一起:如果有人能证明谷山—志村猜想(即“每一个椭圆方程都可以模形式化”),那么就证明了费马大定理。
“人类智力活动的一曲凯歌”
怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名数学家同事们困惑。彼得·萨奈克(Peter Sarnak)回忆说:“ 我常常奇怪怀尔斯在做些什么?……他总是静悄悄的,也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到:“一点暗示都没有!”对于这次惊天“大预谋”,肯·里比特(Ken Ribet)曾评价说:“这可能是我平生来见过的唯一例子,在如此长的时间里没有泄露任何有关工作的信息。这是空前的。
1993年晚春,在经过反复的试错和绞尽脑汁的演算,怀尔斯终于完成了谷山—志村猜想的证明。作为一个结果,他也证明了费马大定理。彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一,“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚我失眠了”。
同年6月,怀尔斯决定在剑桥大学的大型系列讲座上宣布这一证明。 “讲座气氛很热烈,有很多数学界重要人物到场,当大家终于明白已经离证明费马大定理一步之遥时,空气中充满了紧张。” 肯·里比特回忆说。巴里·马佐尔(Barry Mazur)永远也忘不了那一刻:“我之前从未看到过如此精彩的讲座,充满了美妙的、闻所未闻的新思想,还有戏剧性的铺垫,充满悬念,直到最后到达高潮。”当怀尔斯在讲座结尾宣布他证明了费马大定理时,他成了全世界媒体的焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”久远的数学之谜获解》(“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”)为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之间,怀尔斯成为世界上唯一的数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。
与此同时,认真核对这个证明的工作也在进行。遗憾的是,如同这之前的“费马大定理终结者”一样,他的证明是有缺陷的。怀尔斯现在不得不在巨大的压力之下修正错误,其间数度感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网(PBS)的访谈中说: “当时我们其他人(怀尔斯的同事)的行为有点像‘苏联政体研究者’,都想知道他的想法和修正错误的进展,但没有人开口问他。所以,某人会说,‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗?’‘他倒是有微笑,但看起来并不高兴。’”
撑到1994年9月时,怀尔斯准备放弃了。但他临时邀请的研究搭档泰勒鼓励他再坚持一个月。就在截止日到来之前两周, 9月19日 ,一个星期一的早晨,怀尔斯发现了问题的答案,他叙述了这一时刻:“突然间,不可思议地,我发现了它……它美得难以形容,简单而优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我到系里转了一圈,又回到桌子旁看看它是否还在那里——它确实还在那里。”
怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨的褒扬,其中最具代表性的是他在剑桥时的导师、着名数学家约翰·科茨的评价:“它(证明)是人类智力活动的一曲凯歌”。
一场旷日持久的猎逐就此结束,从此费马大定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一起,提到一个就不得不提到另外一个。这是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。
历时八年的最终证明
在怀尔斯不多的接受媒体采访中,美国公众广播网(PBS)NOVA节目对怀尔斯的专访相当精彩有趣,本文节选部分以飨读者。
七年孤独
NOVA:通常人们通过团队来获得工作上的支持,那么当你碰壁时是怎么解决问题的呢?
怀尔斯:当我被卡住时我会沿着湖边散散步,散步的好处是使你会处于放松状态,同时你的潜意识却在继续工作。通常遇到困扰时你并不需要书桌,而且我随时把笔纸带上,一旦有好主意我会找个长椅坐下来打草稿……
NOVA:这七年一定交织着自我怀疑与成功……你不可能绝对有把握证明。
怀尔斯:我确实相信自己在正确的轨道上,但那并不意味着我一定能达到目标——也许仅仅因为解决难题的方法超出现有的数学,也许我需要的方法下个世纪也不会出现。所以即便我在正确的轨道上,我却可能生活在错误的世纪。
NOVA:最终在1993年,你取得了突破。
怀尔斯:对,那是个5月末的早上。Nada,我的太太,和孩子们出去了。我坐在书桌前思考最后的步骤,不经意间看到了一篇论文,上面的一行字引起了我的注意。它提到了一个19世纪的数学结构,我霎时意识到这就是我该用的。我不停地工作,忘记下楼午饭,到下午三四点时我确信已经证明了费马大定理,然后下楼。Nada很吃惊,以为我这时才回家,我告诉她,我解决了费马大定理。
最后的修正
NOVA:《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”,久远的数学之谜获解》,但他们并不知道这个证明中有个错误。
怀尔斯:那是个存在于关键推导中的错误,但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象,我无法用简单的语言描述,就算是数学家也需要研习两三个月才能弄懂。
NOVA:后来你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来协助工作,并在1994年修正了这个最后的错误。问题是,你的证明和费马的证明是同一个吗?
怀尔斯:不可能。这个证明有150页长,用的是20世纪的方法,在费马时代还不存在。
NOVA:那就是说费马的最初证明还在某个未被发现的角落?
怀尔斯:我不相信他有证明。我觉得他说已经找到解答了是在哄自己。这个难题对业余爱好者如此特别在于它可能被17世纪的数学证明,尽管可能性极其微小。
NOVA:所以也许还有数学家追寻这最初的证明。你该怎么办呢?
怀尔斯:对我来说都一样,费马是我童年的热望。我会再试其他问题……证明了它我有一丝伤感,它已经和我们一起这么久了……人们对我说“你把我的问题夺走了”,我能带给他们其他的东西吗?我感觉到有责任。我希望通过解决这个问题带来的兴奋可以激励青年数学家们解决其他许许多多的难题。
iv
谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几何的对象)和模形式(某种数论中用到的周期性全纯函数)之间的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而来,定理的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成.
若p是一个质数而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线,我们可以简化定义E的方程模p;除了有限个p值,我们会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列
ap = np − p,
这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换,每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村定说:
"所有Q上的椭圆曲线是模的"。
该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止,他和志村五郎一起改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代,它和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了起来,并是关键的组成部分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得到推广,Weil的名字有一段时间和它联系在一起。尽管有明显的用处,这个问题的深度在后来的发展之前并未被人们所感觉到。
在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着费马最后定理的时候,它吸引到了不少注意力。他通过试图表明费尔马大定理的任何范例会导致一个非模的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1995年,Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的情况),这个特殊情况足以证明费尔马大定理。
完整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出,他们在Wiles的基础上,一块一块的逐步证明剩下的情况直到全部完成。
数论中类似于费尔马最后定理得几个定理可以从谷山-志村定理得到。例如:没有立方可以写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知)
在1996年三月,Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都没有完成给予他们这个成就的定理的完整形式,他们还是被认为对最终完成的证明有着决定性影响。
从费玛最后定理的历史中可以发现,有许多研究成果,都是研究人员燃烧热情,试图提出「有趣」的命题,然后再尝试用逻辑验证。
费玛最后定理:xn+yn=zn 当 n>2 时,不存在整数解
1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引,「最后问题 The Last Problem」,故事从这里开始。
2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理,任一个直角三角形,斜边的平方=另外两边的平方和
x2+y2=z2
毕达哥拉斯三元组:毕氏定理的整数解
3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时,在页边写下了註记
「不可能将一个立方数写成两个立方数之和;或者将一个四次幂写成两个四次幂之和;或者,总的来说,不可能将一个高於2次幂,写成两个同样次幂的和。」
「对这个命题我有一个十分美妙的证明,这里空白太小,写不下。」
4. 1670年,费玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的「丢番图的算数」
5. 在Fermat的其他註记中,隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解
莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解
3是质数,现在只要证明费玛最后定理对於所有的质数都成立
但 欧基里德 证明「存在无穷多个质数」
6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数,证明了 费玛最后定理 "大概" 无解
7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼的证明,证明了 n=5 无解
8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解
9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最后定理
最后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信,说科西与拉梅的证明,都因为「虚数没有唯一因子分解性质」而失败
库默尔证明了 费玛最后定理的完整证明 是当时数学方法不可能实现的
10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明
这表示 费玛最后定理的完整证明 尚未被解决
沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的人,期限是到2007年9月13日止
11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特,提出数学上23个未解决的问题且相信这是迫切需要解决的重要问题
12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理
第一不可判定性定理:如果公理集合论是相容的,那么存在既不能证明又不能否定的定理。
=> 完全性是不可能达到的
第二不可判定性定理:不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。
=> 相容性永远不可能证明
13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是不是不可判定的方法(只适用少数情形)
证明希尔伯特23个问题中,其中一个「连续统假设」问题是不可判定的,这对於费玛最后定理来说是一大打击
14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机
开始有人利用暴力解决方法,要对 费玛最后定理 的n值一个一个加以证明。
15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想,找到了一个反例
26824404+153656394+1879604=206156734
16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次,研究椭圆曲线
研究椭圆曲线的目的是要算出他们的整数解,这跟费玛最后定理一样
ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2
(费玛证明宇宙中指存在一个数26,他是夹在一个平方数与一个立方数中间)
由於要直接找出椭圆曲线是很困难的,为了简化问题,数学家採用「时鐘运算」方法
在五格时鐘运算中, 4+2=1
椭圆方程式 x3-x2=y2+y
所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4),然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中,有四个解
对於椭圆曲线,可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, .....
17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式
模型式的要素可从1开始标号到无穷(M1, M2, M3, ...)
每个模型式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例
1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭圆曲线的 E序列,两个不同领域的理论突然被连接在一起
安德列‧韦依 採纳这个想法,「谷山-志村猜想」
18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画,一个统一化猜想的理论,并开始寻找统一的环链
19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出
(1) 假设费玛最后定理是错的,则 xn+yn=zn 有整数解,则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式
(2) 弗赖椭圆方程式太古怪了,以致於无法被模型式化
(3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被模型式化
(4) 谷山-志村猜想 是错误的
反过来说
(1) 如果 谷山-志村猜想 是对的,每一个椭圆方程式都可以被模型式化
(2) 每一个椭圆方程式都可以被模型式化,则不存在弗赖椭圆方程式
(3) 如果不存在弗赖椭圆方程式,那么xn+yn=zn 没有整数解
(4) 费玛最后定理是对的
20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无法被模型式化
如果有人能够证明谷山-志村猜想,就表示费玛最后定理也是正确的
21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋,他每隔6个月发表一篇小论文,然后自己独力尝试证明谷山-志村猜想,策略是利用归纳法,加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论,希望能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列
22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几何学证明谷山-志村猜想,但结果失败
23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成无限多项,然后也证明了第一项必定是模型式的第一项,也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论,但结果失败
24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法,对所有分类后的椭圆方程式都奏效
25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助,开始对验证证明
26.1993年5月 「L-函数和算术」会议,安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明
27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷
安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居,尝试独力解决缺陷,他不希望在这时候公布证明,让其他人分享完成证明的甜美果实
28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘,在彼得‧萨纳克的建议下,找到理查德‧泰勒的协助
29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全解决问题
30.「谷山-志村猜想」被证明了,故得证「费玛最后定理」
ii
费马大定理
300多年以前,法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理:“设n是大于2的正整数,则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。
费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明,但因书上空白太小,他写不下他的证明。300多年过去了,不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它,但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的定理—费马大定理。
费马(1601年~1665年)是一位具有传奇色彩的数学家,他最初学习法律并以当律师谋生,后来成为议会议员,数学只不过是他的业余爱好,只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学,但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何,同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数论,提出了许多定理,但费马只对其中一个定理给出了证明要点,其他定理除一个被证明是错的,一个未被证明外,其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理,因为是最后一个未被证明对或错的定理,所以又称为费马最后定理。
费马大定理虽然至今仍没有完全被证明,但已经有了很大进展,特别是最近几十年,进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解,他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理,但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认,但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问,这使人们看到了希望。
为了寻求费马大定理的解答,三个多世纪以来,一代又一代的数学家们前赴后继,却壮志未酬。1995年,美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战,用13
0页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。
费马大定理提出的问题非常简单,它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达
哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说:在一个直角三角形中,
斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ,当费马在
研究毕达哥拉斯方程时,他写下一个方程,非常类似于毕达哥拉斯方程:Xn+Yn=Zn,当n
大于2时,这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这
个结论的同时又写下一个附加的评注:“对此,我确信已发现一个美妙的证法,这里的空
白太小,写不下。”这就是数学史上着名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了
一个数学史上最深奥的谜。
大问题
在物理学、化学或生物学中,还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰,却长久不
解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到,
文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成为数论中最
值得为之奋斗的事。
安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥,父亲是一位工程学教授。少年时代的怀尔斯
已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到:“在学校里我喜欢做题目,我把它们带回家,
编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。
”一天,小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书,这本书只有一个问题而没有解答
,怀尔斯被吸引住了。
这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史,这个定理让一个又
一个的数学家望而生畏,在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆
起被引向费马大定理时的感觉:“它看上去如此简单,但历史上所有的大数学家都未能解
决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题,从那个时刻起,我知道我永
远不会放弃它。我必须解决它。”
怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位,之后进入剑桥大学Clare
学院做博士。在研究生阶段,怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说:“研究费马可能
带来的问题是:你花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate
s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论,我开始跟随他工作。” 科茨说:“我记得一位同事
告诉我,他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学生,他催促我收其
为学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看,他也有很深刻的
思想,非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然,任何研究生在那个阶段直接开始研
究费马大定理是不可能的,即使对资历很深的数学家来说,它也太困难了。”科茨的责任
是为怀尔斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究的问题。他说:“我认为研究
生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然,不能保证它一定
是一个富有成果的研究方向,但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事是使用他
的常识、他对好领域的直觉。然后,学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。
”
科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的
一个转折点,椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。
孤独的战士
1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学,并成为这所大学
的教授。在科茨的指导下,怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程,他已经成为一
个着名的数论学家,但他清楚地意识到,即使以他广博的基础知识和数学修养,证明费马
大定理的任务也是极为艰巨的。
在怀尔斯的费马大定理的证明中,核心是证明“谷山-志村猜想”,该猜想在两个非
常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚,我正在一个朋
友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我,肯·里贝特已经证明了谷山-志村猜想与费马大
定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻,那个改变我生命历程的时刻,因为
这意味着为了证明费马大定理,我必须做的一切就是证明谷山-志村猜想……我十分清楚
我应该回家去研究谷山-志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。
20世纪初,有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理,他
回答说:“在开始着手之前,我必须用3年的时间作深入的研究,而我没有那么多的时间
浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道,为了找到证明,他必须全身心地投入到
这个问题中,但是与希尔伯特不一样,他愿意冒这个风险。
怀尔斯作了一个重大的决定:要完全独立和保密地进行研究。他说:“我意识到与费
马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中
,除非你的专心不被他人分散,而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有
与证明费马大定理无直接关系的工作,任何时候只要可能他就回到家里工作,在家里的顶
楼书房里他开始了通过谷山-志村猜想来证明费马大定理的战斗。
这是一场长达7年的持久战,这期间只有他的妻子知道他在证明费马大定理。
欢呼与等待
经过7年的努力,怀尔斯完成了谷山-志村猜想的证明。作为一个结果,他也证明了
费马大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底,有一个重要的会议要在剑桥大
学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择
在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡,他曾经是那里的一名研究生。
1993年6月23日,牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆
听了这一演讲,但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达
的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安
德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景:“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风
声,很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头,研究所所长肯
定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时,会场上保持着特别庄重的寂静,当我写完
费马大定理的证明时,我说:‘我想我就在这里结束’,会场上爆发出一阵持久的鼓掌声
。”
《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”,久远的数学之谜获解》为题报道
费马大定理被证明的消息。一夜之间,怀尔斯成为世界上最着名的数学家,也是唯一的数
学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创
意的赞美来自一家国际制衣大公司,他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模
特。
当怀尔斯成为媒体报道的中心时,认真核对这个证明的工作也在进行。科学的程序要
求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物,然后这个刊物的编辑将它送交一组审
稿人,审稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》,整整一个
夏天他焦急地等待审稿人的意见,并祈求能得到他们的祝福。可是,证明的一个缺陷被发
现了。
我的心灵归于平静
由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法,编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定
2-3个审稿人,而是6个审稿人。200页的证明被分成6章,每位审稿人负责其中一章。
怀尔斯在此期间中断了他的工作,以处理审稿人在电子邮件中提出的问题,他自信这
些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章,1993年8月23日,他发现了
证明中的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都
行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题,补救的办法可能就在近旁,可是6个多月过去了
,错误仍未改正,怀尔斯面临绝境,他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情
况,萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的人。经过
长时间的考虑后,怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作
。
泰勒1994年1月份到普林斯顿,可是到了9月,依然没有结果,他们准备放弃了。泰勒
鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日,一个星期一的早
晨,怀尔斯发现了问题的答案,他叙述了这一时刻:“突然间,不可思议地,我有了一个
难以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻,我不会再有这样的经历……它的美是如
此地难以形容;它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我
到系里转了一圈,又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。”
这是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极,怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世
界不再怀疑这一次的证明了。这两篇论文总共有130页,是历史上核查得最彻底的数学稿
件,它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版
上,标题是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说:“用数学的术语来说,这个最
终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比,对费马大定理的证明是人类智力活动的一
曲凯歌,同时,不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来,安
德鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。”
声望和荣誉纷至沓来。1995年,怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖,199
6年,他获得沃尔夫奖,并当选为美国科学院外籍院士。
怀尔斯说:“……再没有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如
此少有的特权,在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已经结束了,
我的心已归于平静。”
费马大定理只有在相对数学理论的建立之后,才会得到最满意的答案。相对数学理论没有完成之前,谈这个问题是无力地.因为人们对数量和自身的认识,还没有达到一定的高度.
iii
费马大定理与怀尔斯的因果律-美国公众广播网对怀尔斯的专访
358年的难解之谜
数学爱好者费马提出的这个问题非常简单,它用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说:在一个直角三角形中,斜边的平方等于两个直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ,当费马在研究毕达哥拉斯方程时,他在《算术》这本书靠近问题8的页边处写下了这段文字:“设n是大于2的正整数,则不定方程xn+yn=zn没有非整数解,对此,我确信已发现一个美妙的证法,但这里的空白太小,写不下。”费马习惯在页边写下猜想,费马大定理是其中困扰数学家们时间最长的,所以被称为Fermat’s Last Theorem(费马最后的定理)——公认为有史以来最着名的数学猜想。
在畅销书作家西蒙·辛格(Simon Singh)的笔下,这段神秘留言引发的长达358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先后涉及到最多产的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余转为职业数学家的柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼试验大师库默尔和被誉为“法国历史上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神秘自杀、德国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔最后一刻的舍死求生等等,都仿佛是冥冥间上帝导演的宏大戏剧中的一幕,为最后谜底的解开埋下伏笔。终于,普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底,把这出戏推向高潮并戛然而止,留下一段耐人回味的传奇。
对怀尔斯而言,证明费马大定理不仅是破译一个难解之谜,更是去实现一个儿时的梦想。“我10岁时在图书馆找到一本数学书,告诉我有这么一个问题,300多年前就已经有人解决了它,但却没有人看到过它的证明,也无人确信是否有这个证明,从那以后,人们就不断地求证。这是一个10岁小孩就能明白的问题,然后历史上诸多伟大的数学家们却不能解答。于是从那时起,我就试过解决它,这个问题就是费马大定理。”
怀尔斯于1970年先后在牛津大学和剑桥大学获得数学学士和数学博士学位。“我进入剑桥时,我真正把费马大定理搁在一边了。这不是因为我忘了它,而是我认识到我们所掌握的用来攻克它的全部技术已经反复使用了130年。而这些技术似乎没有触及问题根本。”因为担心耗费太多时间而一无所获,他“暂时放下了”对费马大定理的思索,开始研究椭圆曲线理论——这个看似与证明费马大定理不相关的理论后来却成为他实现梦想的工具。
时间回溯至20世纪60年代,普林斯顿数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想:所有主要数学领域之间原本就存在着的统一的链接。如果这个猜想被证实,意味着在某个数学领域中无法解答的任何问题都有可能通过这种链接被转换成另一个领域中相应的问题——可以被一整套新方案解决的问题。而如果在另一个领域内仍然难以找到答案,那么可以把问题再转换到下一个数学领域中……直到它被解决为止。根据朗兰兹纲领,有一天,数学家们将能够解决曾经是最深奥最难对付的问题——“办法是领着这些问题周游数学王国的各个风景胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备定理打击的费马大定理证明者们指明了救赎之路——根据不完备定理,费马大定理是不可证明的。
怀尔斯后来正是依赖于这个纲领才得以证明费马大定理的:他的证明——不同于任何前人的尝试——是现代数学诸多分支(椭圆曲线论,模形式理论,伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结果。20世纪50年代由两位日本数学家(谷山丰和志村五郎)提出的谷山—志村猜想(Taniyama-Shimura conjecture)暗示:椭圆方程与模形式两个截然不同的数学岛屿间隐藏着一座沟通的桥梁。随后在1984年,德国数学家格哈德·费赖(Gerhard Frey)给出了如下猜想:假如谷山—志村猜想成立,则费马大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特(Ken Ribet)证明。从此,费马大定理不可摆脱地与谷山—志村猜想链接在一起:如果有人能证明谷山—志村猜想(即“每一个椭圆方程都可以模形式化”),那么就证明了费马大定理。
“人类智力活动的一曲凯歌”
怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名数学家同事们困惑。彼得·萨奈克(Peter Sarnak)回忆说:“ 我常常奇怪怀尔斯在做些什么?……他总是静悄悄的,也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到:“一点暗示都没有!”对于这次惊天“大预谋”,肯·里比特(Ken Ribet)曾评价说:“这可能是我平生来见过的唯一例子,在如此长的时间里没有泄露任何有关工作的信息。这是空前的。
1993年晚春,在经过反复的试错和绞尽脑汁的演算,怀尔斯终于完成了谷山—志村猜想的证明。作为一个结果,他也证明了费马大定理。彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一,“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚我失眠了”。
同年6月,怀尔斯决定在剑桥大学的大型系列讲座上宣布这一证明。 “讲座气氛很热烈,有很多数学界重要人物到场,当大家终于明白已经离证明费马大定理一步之遥时,空气中充满了紧张。” 肯·里比特回忆说。巴里·马佐尔(Barry Mazur)永远也忘不了那一刻:“我之前从未看到过如此精彩的讲座,充满了美妙的、闻所未闻的新思想,还有戏剧性的铺垫,充满悬念,直到最后到达高潮。”当怀尔斯在讲座结尾宣布他证明了费马大定理时,他成了全世界媒体的焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”久远的数学之谜获解》(“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”)为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之间,怀尔斯成为世界上唯一的数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。
与此同时,认真核对这个证明的工作也在进行。遗憾的是,如同这之前的“费马大定理终结者”一样,他的证明是有缺陷的。怀尔斯现在不得不在巨大的压力之下修正错误,其间数度感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网(PBS)的访谈中说: “当时我们其他人(怀尔斯的同事)的行为有点像‘苏联政体研究者’,都想知道他的想法和修正错误的进展,但没有人开口问他。所以,某人会说,‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗?’‘他倒是有微笑,但看起来并不高兴。’”
撑到1994年9月时,怀尔斯准备放弃了。但他临时邀请的研究搭档泰勒鼓励他再坚持一个月。就在截止日到来之前两周, 9月19日 ,一个星期一的早晨,怀尔斯发现了问题的答案,他叙述了这一时刻:“突然间,不可思议地,我发现了它……它美得难以形容,简单而优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我到系里转了一圈,又回到桌子旁看看它是否还在那里——它确实还在那里。”
怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨的褒扬,其中最具代表性的是他在剑桥时的导师、着名数学家约翰·科茨的评价:“它(证明)是人类智力活动的一曲凯歌”。
一场旷日持久的猎逐就此结束,从此费马大定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一起,提到一个就不得不提到另外一个。这是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。
历时八年的最终证明
在怀尔斯不多的接受媒体采访中,美国公众广播网(PBS)NOVA节目对怀尔斯的专访相当精彩有趣,本文节选部分以飨读者。
七年孤独
NOVA:通常人们通过团队来获得工作上的支持,那么当你碰壁时是怎么解决问题的呢?
怀尔斯:当我被卡住时我会沿着湖边散散步,散步的好处是使你会处于放松状态,同时你的潜意识却在继续工作。通常遇到困扰时你并不需要书桌,而且我随时把笔纸带上,一旦有好主意我会找个长椅坐下来打草稿……
NOVA:这七年一定交织着自我怀疑与成功……你不可能绝对有把握证明。
怀尔斯:我确实相信自己在正确的轨道上,但那并不意味着我一定能达到目标——也许仅仅因为解决难题的方法超出现有的数学,也许我需要的方法下个世纪也不会出现。所以即便我在正确的轨道上,我却可能生活在错误的世纪。
NOVA:最终在1993年,你取得了突破。
怀尔斯:对,那是个5月末的早上。Nada,我的太太,和孩子们出去了。我坐在书桌前思考最后的步骤,不经意间看到了一篇论文,上面的一行字引起了我的注意。它提到了一个19世纪的数学结构,我霎时意识到这就是我该用的。我不停地工作,忘记下楼午饭,到下午三四点时我确信已经证明了费马大定理,然后下楼。Nada很吃惊,以为我这时才回家,我告诉她,我解决了费马大定理。
最后的修正
NOVA:《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”,久远的数学之谜获解》,但他们并不知道这个证明中有个错误。
怀尔斯:那是个存在于关键推导中的错误,但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象,我无法用简单的语言描述,就算是数学家也需要研习两三个月才能弄懂。
NOVA:后来你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来协助工作,并在1994年修正了这个最后的错误。问题是,你的证明和费马的证明是同一个吗?
怀尔斯:不可能。这个证明有150页长,用的是20世纪的方法,在费马时代还不存在。
NOVA:那就是说费马的最初证明还在某个未被发现的角落?
怀尔斯:我不相信他有证明。我觉得他说已经找到解答了是在哄自己。这个难题对业余爱好者如此特别在于它可能被17世纪的数学证明,尽管可能性极其微小。
NOVA:所以也许还有数学家追寻这最初的证明。你该怎么办呢?
怀尔斯:对我来说都一样,费马是我童年的热望。我会再试其他问题……证明了它我有一丝伤感,它已经和我们一起这么久了……人们对我说“你把我的问题夺走了”,我能带给他们其他的东西吗?我感觉到有责任。我希望通过解决这个问题带来的兴奋可以激励青年数学家们解决其他许许多多的难题。
iv
谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几何的对象)和模形式(某种数论中用到的周期性全纯函数)之间的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而来,定理的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成.
若p是一个质数而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线,我们可以简化定义E的方程模p;除了有限个p值,我们会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列
ap = np − p,
这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换,每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村定说:
"所有Q上的椭圆曲线是模的"。
该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止,他和志村五郎一起改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代,它和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了起来,并是关键的组成部分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得到推广,Weil的名字有一段时间和它联系在一起。尽管有明显的用处,这个问题的深度在后来的发展之前并未被人们所感觉到。
在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着费马最后定理的时候,它吸引到了不少注意力。他通过试图表明费尔马大定理的任何范例会导致一个非模的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1995年,Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的情况),这个特殊情况足以证明费尔马大定理。
完整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出,他们在Wiles的基础上,一块一块的逐步证明剩下的情况直到全部完成。
数论中类似于费尔马最后定理得几个定理可以从谷山-志村定理得到。例如:没有立方可以写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知)
在1996年三月,Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都没有完成给予他们这个成就的定理的完整形式,他们还是被认为对最终完成的证明有着决定性影响。
塞纳河畔 (1957) 豆瓣
La Seine a rencontré Paris
其它标题:
La Seine a rencontré Paris
《塞纳河畔》(La Seine a rencontré Paris,尤里斯·伊文思,1958年|31分钟|35毫米|黑白|有声)以浓厚的诗情画意和温暖的人道情怀描绘了巴黎风情。影片开始,摄影机宛如轻盈的小船航行在塞纳河上,划过充满乡野气息的城郊,缓缓进入巴黎市区。接着,摄影机在塞纳河两岸驻足,展现岸边的生活场景:一个男人正在给自己补鞋,成群的市民漫无目的地闲逛,几个小痞子目不转睛地盯视在岸边拍照的女模特,恋人们旁若无人地沉溺在甜蜜的二人世界。一阵急雨袭来,人们迅速跑开。本片的创意源自法国电影史学家乔治·萨杜尔,试图在塞纳河与巴黎相逢的地方表现巴黎的风土人情(本片原名《塞纳河与巴黎相逢》。本片并非描写塞纳河和巴黎景色的风光片,而是一首充满温暖和煦的柔情、宽容慈悲的人道情怀以及洞察世事的幽默感的诗篇。本片拍摄完成不久就曾在中国放映,而且是导演亲自带来的拷贝。那时,他应中国政府文化部邀请访问中国,并应邀担任中央新闻纪录电影制片厂艺术顾问。本片导演尤里斯·伊文思(Joris Ivens,1898—1989)生于荷兰,年轻时代曾到许多国家拍片,后半生主要生活在法国巴黎。伊文思与中国的关系十分密切,从1938年拍摄《四万万人民》到文革时期拍摄《愚公移山》再到新时期拍摄《风的故事》,他多次来到中国并用摄影机记录下了中国不同时期的社会变迁。
平衡 (2000) 豆瓣
其它标题:
Balance
《平衡》是近几年来国内比较优秀的纪录片,一部现实主义作品,作者彭辉用了3年时间来记录,又浓缩在70分钟内播出,使大家感受到了时间空间和事件的震撼力,这是时空张力和对客观再现的综合表现。此片获得中国电视纪录片的最高奖项:金鹰奖最佳长篇纪录片奖。
全片没有一句解说词,这在其他纪录片中是不多见的。而事实上,在这部纪录片中,解说词也是多余的。开头为我们展现了广袤的青藏高原,接着是巍巍的昆仑山脉,最后出现在屏幕上的是“可可西里”无人区,也就是本片拍摄地点。奔跑着的藏羚羊,滑翔着的斑头雁,寥寥几笔为观众点出了这个世界第三大无人区,野生动物的天堂,更是藏羚羊家园的“可可西里”。以此作为之后片中表现“西部野牦牛队” 保护藏羚羊及其他种种问题设下铺垫。没有多余的画面与解释,简洁有力而大气。
片中使用了少量音乐,大多是自然音响。风声贯穿全片,在平均海拔5000米的高原上,即便用了防风罩,依然抵不住肆虐的大风,真实直接地表现了西部野牦牛队的工作环境。在环保主义者杨欣过生日片段中,大家为他学唱生日歌也是自然音响之一,毫不粉饰的音响带来了体现情感的最佳效果。
主人公扎巴多杰坐在卓乃湖前对着镜头讲述。他让我们知道了“索南达杰”,西部工委第一任队长,同18名盗猎者搏斗而牺牲。因此,扎巴多杰自愿请命成为“西部野牦牛队”队长,来到可可西里进行艰苦的工作。片中引用了故事片《索南达杰》的片断,把现实中索南达杰牺牲时,冻僵的躯体仍保持着握枪姿势的情形同演员再现的情形一同展现给观众,带来更大的震撼。这也是片中的一个亮点,对观众来说,会牢牢记住这一细节。
除此之外,片中还引用了一些资料,例如,偷拍的藏羚羊绒围巾交易现场、5000美金一条、800公斤羊绒来自中国等数据增强了作品的表现力,强调了“反盗猎”的必要性。也突出“平衡”这一主题。
导演彭辉也是幸运的,因为扎巴多杰本人就是个具有相当震撼力的人物,并且善于表达,他的个人魅力足以打动每个人。在镜头前,他毫不掩饰,非常直接自然地表达一切,对盗猎者强烈的愤慨,对政府某些官员的指责,对自己工作的执着。很多信息是通过扎巴多杰的表述传达给观众,这是此片很重要的一个构成部分。
全片没有一句解说词,这在其他纪录片中是不多见的。而事实上,在这部纪录片中,解说词也是多余的。开头为我们展现了广袤的青藏高原,接着是巍巍的昆仑山脉,最后出现在屏幕上的是“可可西里”无人区,也就是本片拍摄地点。奔跑着的藏羚羊,滑翔着的斑头雁,寥寥几笔为观众点出了这个世界第三大无人区,野生动物的天堂,更是藏羚羊家园的“可可西里”。以此作为之后片中表现“西部野牦牛队” 保护藏羚羊及其他种种问题设下铺垫。没有多余的画面与解释,简洁有力而大气。
片中使用了少量音乐,大多是自然音响。风声贯穿全片,在平均海拔5000米的高原上,即便用了防风罩,依然抵不住肆虐的大风,真实直接地表现了西部野牦牛队的工作环境。在环保主义者杨欣过生日片段中,大家为他学唱生日歌也是自然音响之一,毫不粉饰的音响带来了体现情感的最佳效果。
主人公扎巴多杰坐在卓乃湖前对着镜头讲述。他让我们知道了“索南达杰”,西部工委第一任队长,同18名盗猎者搏斗而牺牲。因此,扎巴多杰自愿请命成为“西部野牦牛队”队长,来到可可西里进行艰苦的工作。片中引用了故事片《索南达杰》的片断,把现实中索南达杰牺牲时,冻僵的躯体仍保持着握枪姿势的情形同演员再现的情形一同展现给观众,带来更大的震撼。这也是片中的一个亮点,对观众来说,会牢牢记住这一细节。
除此之外,片中还引用了一些资料,例如,偷拍的藏羚羊绒围巾交易现场、5000美金一条、800公斤羊绒来自中国等数据增强了作品的表现力,强调了“反盗猎”的必要性。也突出“平衡”这一主题。
导演彭辉也是幸运的,因为扎巴多杰本人就是个具有相当震撼力的人物,并且善于表达,他的个人魅力足以打动每个人。在镜头前,他毫不掩饰,非常直接自然地表达一切,对盗猎者强烈的愤慨,对政府某些官员的指责,对自己工作的执着。很多信息是通过扎巴多杰的表述传达给观众,这是此片很重要的一个构成部分。
出路 (2012) 豆瓣 IMDb TMDB
出路
9.0 (57 个评分)
导演:
Weijun Chen
其它标题:
Education, Education
良好的教育能否摆脱贫困? 在中国古代,教育是摆脱贫困的唯一途径,而在近代,良好的教育是摆脱贫困最好的途径。 中国的经济繁荣和对艰苦奋斗精神的言论,使得人们产生了学习就能脱贫的期望。 但是现如今,中国的高等教育体系只带来了很少的工作机会,教育出了失业和绝望的新一代。
为什么贫穷? (2012) 豆瓣 TMDB
Why Poverty? Season 1 所属 电视剧集: 为什么贫穷?
9.1 (58 个评分)
导演:
布莱恩·希尔
/
本·刘易斯
…
演员:
Abu Badr
/
Umm Badr
…
贫富不均对社会有什么影响?穷人真能掌握自己的未来?国际非营利组织STEPS INTERNATIONAL 所推动的《为什么贫穷?》(Why Poverty?)跨媒体计划,参与协同制作工作,与全球同步播出一系列探讨21世纪贫穷问题的纪录片。
《为什么贫穷?》是由总部位于丹麦的国际非营利组织STEPS INTERNATIONAL推动的非商业计划。Steps曾在2007年推动过《为什么要民主?》(Why Democracy?)。而《为什么贫穷?》即以此为基础,希望用影片刺激大众讨论贫穷问题;计划共同发起人还有英国广播公司(BBC)和丹麦广播公司(DR),这两家电视台也是本计划的主要合作伙伴和推动者。
这计划邀请了来自世界各地的纪录片导演,以“为什么贫穷”为共同题目,拍摄了每集一小时共八集的纪录片,让世界共同思考贫穷问题,探讨全球10亿赤贫人口的过去与未来。本系列纪录片于2012年11月起全球播放,台湾PTS与英国BBC、美国PBS、日本NHK、香港RTHK等在内的70余家电视台均加入联合播出,估计观众总数超过 5 亿人。
第1集 Poor Us: An Animated History of Poverty / 当我们穷在一起:动画贫穷史
第2集 Welcome to the World / 人之初 性本穷
第3集 Park Avenue: Money, Power and the American Dream / 有钱有庇护:金钱、权力和美国梦
第4集 Land Rush / 耕者无其田
第5集 Give Us the Money / 摇滚救贫穷
第6集 Stealing Africa / 生财有“盗”
第7集 Solar Mamas / 太阳能妈妈
第8集 Education, Education / 出路
《为什么贫穷?》是由总部位于丹麦的国际非营利组织STEPS INTERNATIONAL推动的非商业计划。Steps曾在2007年推动过《为什么要民主?》(Why Democracy?)。而《为什么贫穷?》即以此为基础,希望用影片刺激大众讨论贫穷问题;计划共同发起人还有英国广播公司(BBC)和丹麦广播公司(DR),这两家电视台也是本计划的主要合作伙伴和推动者。
这计划邀请了来自世界各地的纪录片导演,以“为什么贫穷”为共同题目,拍摄了每集一小时共八集的纪录片,让世界共同思考贫穷问题,探讨全球10亿赤贫人口的过去与未来。本系列纪录片于2012年11月起全球播放,台湾PTS与英国BBC、美国PBS、日本NHK、香港RTHK等在内的70余家电视台均加入联合播出,估计观众总数超过 5 亿人。
第1集 Poor Us: An Animated History of Poverty / 当我们穷在一起:动画贫穷史
第2集 Welcome to the World / 人之初 性本穷
第3集 Park Avenue: Money, Power and the American Dream / 有钱有庇护:金钱、权力和美国梦
第4集 Land Rush / 耕者无其田
第5集 Give Us the Money / 摇滚救贫穷
第6集 Stealing Africa / 生财有“盗”
第7集 Solar Mamas / 太阳能妈妈
第8集 Education, Education / 出路
新丝绸之路2006 精装版) 豆瓣
未知艺术家
类型:
原声
发布日期 2006年8月1日
出版发行:
中国唱片上海公司
详细内容: 1.一个人的龟兹2.草原石头祭3.永远的长安4.敦煌生命5.和田寻宝6.探访黑水城7.十字路口上的喀什8.生与死的楼兰9.青海之路10.主题曲《思念与对视》11.吐鲁番的记忆12.序曲《向东方向西方》13.片头曲广告语: 这张是中央电视台大型电视记录片《新丝绸之路》的音乐专辑,是2006年最具文化含量、最有收藏价值、最值得期待的极品音乐。该片收录了13首歌曲,“永远的长安”、“敦煌生命”、“探访黑水城”、“生与死的楼兰”、“吐鲁番的记忆”……带你重走丝绸之路,邂逅传世文明,揭秘经典起源!
宇宙的奇迹 (2011) 豆瓣
Wonders of the Universe
9.5 (53 个评分)
演员:
布莱恩·考克斯
/
斯蒂文·麦金托什
Brian Cox教授带我们用物理学揭开种种宇宙奇迹的奥秘,阐释人类和宇宙的深邃联系。茫茫宇宙,人类从何而来?宇宙又将走向何处?带着万千的疑问,我们跟随Brian Cox教授一起感受地球上罕见的景观,在这些壮丽的景观背后,隐藏着宇宙的秘密……让我们在欣赏美景的同时,深入了解物理学,逐渐揭开宇宙各种奇迹的神秘面纱,明了了人类与宇宙的深邃联系。
阳光帅哥Brian Cox是一位粒子物理学家,曼彻斯特大学高能物理学教授,英国皇家学会会员,也是瑞士欧洲核物理研究组织(CERN)之大型强子对撞器(LHC)的六大实验参与者之一。但他的成名却是由于近年来常常出现在是BBC科普节目中。BBC曾播出他主持的科教节目的Wonders of the Solar System(《BBC:太阳系的奇迹》)。
阳光帅哥Brian Cox是一位粒子物理学家,曼彻斯特大学高能物理学教授,英国皇家学会会员,也是瑞士欧洲核物理研究组织(CERN)之大型强子对撞器(LHC)的六大实验参与者之一。但他的成名却是由于近年来常常出现在是BBC科普节目中。BBC曾播出他主持的科教节目的Wonders of the Solar System(《BBC:太阳系的奇迹》)。
马友友在檀格坞 (1990) 豆瓣
Yo-Yo Ma at Tanglewood
导演:
彼得·罗森
演员:
马友友
其它标题:
Yo-Yo Ma at Tanglewood
/
馬友友在檀格塢
…
《馬友友在檀格塢 劇情簡介》- 檀格塢音樂節是北美洲每年夏天的音樂盛事。它不只是一場場職業音樂家在舞台上演出的音樂節而已,更重要的是,它讓年輕後輩有機會與前輩相處,吸取前輩的經驗,接受前輩的指導,為未來的音樂職業生涯預做準備。時至今日,曾經在檀格塢接受前輩洗禮,進而在世界樂壇發光的音樂家,包括:伯恩斯坦、佛斯、阿巴多、馬捷爾、梅塔、小澤征爾與金曼... 除了古典音樂,檀格塢音樂節也為學子準備爵士音樂與現代音樂課程,以多元化的課程讓學子體會音樂的各種可能性。馬友友是現今檀格塢音樂節的指標人物,每年夏天,他都會與樂界的朋友在那裡以用生動活潑、簡明易懂又具有啟發性的語言,與年輕學子分享音樂,討論音樂。對於學子來說,他們能夠以此機會與大師直接接觸、接受指導;對於終年忙碌的職業音樂家與在職人士而言,這未嘗不是沉澱充電的好機會。
Vladimir Horowitz: The Last Romantic (1985) 豆瓣
导演:
阿尔伯特·梅索斯
/
大卫·梅索斯
演员:
弗拉基米尔·霍洛维茨
/
Wanda Toscanini Horowitz